3572: [Hnoi2014]世界树

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Description

世界树是一棵无比巨大的树,它伸出的枝干构成了整个世界。在这里,生存着各种各样的种族和生灵,他们共同信奉着绝对公正公平的女神艾莉森,在他们的信条里,公平是使世界树能够生生不息、持续运转的根本基石。
世界树的形态可以用一个数学模型来描述:世界树中有n个种族,种族的编号分别从1到n,分别生活在编号为1到n的聚居地上,种族的编号与其聚居地的编号相同。有的聚居地之间有双向的道路相连,道路的长度为1。保证连接的方式会形成一棵树结构,即所有的聚居地之间可以互相到达,并且不会出现环。定义两个聚居地之间的距离为连接他们的道路的长度;例如,若聚居地a和b之间有道路,b和c之间有道路,因为每条道路长度为1而且又不可能出现环,所卧a与c之间的距离为2。
出于对公平的考虑,第i年,世界树的国王需要授权m[i]个种族的聚居地为临时议事处。对于某个种族x(x为种族的编号),如果距离该种族最近的临时议事处为y(y为议事处所在聚居地的编号),则种族x将接受y议事处的管辖(如果有多个临时议事处到该聚居地的距离一样,则y为其中编号最小的临时议事处)。
现在国王想知道,在q年的时间里,每一年完成授权后,当年每个临时议事处将会管理多少个种族(议事处所在的聚居地也将接受该议事处管理)。 现在这个任务交给了以智慧著称的灵长类的你:程序猿。请帮国王完成这个任务吧。

Input

第一行为一个正整数n,表示世界树中种族的个数。
接下来n-l行,每行两个正整数x,y,表示x聚居地与y聚居地之间有一条长度为1的双向道路。接下来一行为一个正整数q,表示国王询问的年数。
接下来q块,每块两行:
第i块的第一行为1个正整数m[i],表示第i年授权的临时议事处的个数。
第i块的第二行为m[i]个正整数h[l]、h[2]、…、h[m[i]],表示被授权为临时议事处的聚居地编号(保证互不相同)。

Output

输出包含q行,第i行为m[i]个整数,该行的第j(j=1,2…,,m[i])个数表示第i年被授权的聚居地h[j]的临时议事处管理的种族个数。

Sample Input

10

21

32

43

54

61

73

83

94

10 1

5

2

61

5

27369

1

8

4

87103

5

29358

Sample Output

19

31411

10

1135

41311
HINT

N<=300000, q<=300000,m[1]+m[2]+…+m[q]<=300000

Source

题目大意

给定一棵树,有若干个询问,每次给定m个点,每个点都被这m个点中最近(距离相同,编号小的近)的点管辖。问m个点分别管几个点。

题解

这题其实几天前就A掉了。。。只是题解还没写……
这题有个很直观的想法,就是把询问点按dfs序排序,然后只保留相邻点的lca。然后再乱搞。。。
然后有个很直观的感觉就是不可打(当然这是因为我太弱了。。。)
然后去膜拜ydc神犇的代码。
然后发现非常好写!
然后还明白了这个东西叫做虚树。。。

具体做法是:
先建出虚树:求出lca,然后模拟dfs,维护每个点的父亲结点。如果栈顶不是下一个点的祖先就出栈。记得如果在一条边中间插入要更新下面那个点的父亲信息。
具体代码如下:
h[N]是读入的点,d[N]是深度,t[N]是虚树的结点。

std::sort(h + 1,h + 1 + m,cmp);
int top = 0;
for (int i = 1; i <= m; ++i)
    if (!top) father[st[++top] = h[i]] = 0;
    else {
        int p = h[i],lca = LCA(h[i],st[top]);
        for (; d[st[top]] > d[lca]; --top)
            if (d[st[top - 1]] <= d[lca])
                father[st[top]] = lca;
        if (st[top] != lca) {
            t[++tot] = lca;
            g[lca] = mp(0x3f3f3f3f,0);
            father[lca] = st[top];
            st[++top] = lca;
        }
        father[p] = lca;
        st[++top] = p;
    }

接下来在虚树上面DP,求出每个点被谁控制(这部分用dfs序for两圈就好了)。
然后考虑每个点连到父亲那条边的贡献以及每个点的贡献。

  1. 连向父亲边
    假设当前点是u,虚树上的父节点是fa,x同时是真树上u的祖先和fa的儿子。
    若是根节点,我们把他视为从虚树根往上走那部分的贡献=n-sz[u]。
    否则判断两边的点是否同时被一个点管辖,是的话整条边的贡献=sz[x]-sz[u],否则求出分割点,然后计算贡献。

  2. 点的贡献
    这个=

然后加起来就是答案啦

代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <map>
#define mp(x,y) std::make_pair(x,y)
const int N = 300000 + 9;
int f[N][20],n,m,ec,son[N],lnk[N * 2],nxt[N * 2],dfn[N],sz[N],d[N],Time;
inline bool cmp(const int lhs,const int rhs){return dfn[lhs] < dfn[rhs];}
inline void addedge(const int x,const int y)
{
    nxt[++ec] = son[x];
    lnk[son[x] = ec] = y;
}
void dfs(int u)
{
    dfn[u] = ++Time;
    sz[u] = 1;
    for (int v,i = son[u]; i; i = nxt[i])
        if ((v = lnk[i]) != f[u][0]) {
            f[v][0] = u;
            for (int j = 0; (f[v][j + 1] = f[f[v][j]][j]); ++j);
            d[v] = d[u] + 1;
            dfs(v);
            sz[u] += sz[v];
        }
}
int find(int u,int dep)
{
    if (d[u] < dep)
        puts("^ ^");
    for (int i = 19; i >= 0; --i)
        if (d[f[u][i]] >= dep) u = f[u][i];
    return u;
}
int LCA(int u,int v)
{
    if (d[u] < d[v]) std::swap(u,v);
    for (int i = 19; i >= 0; --i)
        if (d[f[u][i]] >= d[v]) u = f[u][i];
    if (u == v) return u;
    for (int i = 19; i >= 0; --i)
        if (f[u][i] != f[v][i]) u = f[u][i],v = f[v][i];
    return f[u][0];
}
void solve()
{
    static int h[N],mem[N],st[N],father[N],t[N],val[N],ans[N],w[N];
    static std::pair<int,int> g[N];
    int m,tot = 0;
    scanf("%d",&m);
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        scanf("%d",h + i);
        mem[i] = h[i];
        t[++tot] = h[i];
        g[h[i]] = mp(0,h[i]);
        ans[h[i]] = 0;
    }
    std::sort(h + 1,h + 1 + m,cmp);
    int top = 0;
    for (int i = 1; i <= m; ++i)
        if (!top) father[st[++top] = h[i]] = 0;
        else {
            int p = h[i],lca = LCA(h[i],st[top]);
            for (; d[st[top]] > d[lca]; --top)
                if (d[st[top - 1]] <= d[lca])
                    father[st[top]] = lca;
            if (st[top] != lca) {
                t[++tot] = lca;
                g[lca] = mp(0x3f3f3f3f,0);
                father[lca] = st[top];
                st[++top] = lca;
            }
            father[p] = lca;
            st[++top] = p;
        }
    std::sort(t + 1,t + 1 + tot,cmp);
    for (int i = 1; i <= tot; ++i) {
        int p = t[i];
        val[p] = sz[p];
        if (i > 1)
            w[p] = d[p] - d[father[p]];
    }
    for (int i = tot; i > 1; --i) {
        int p = t[i],fa = father[p];
        g[fa] = std::min(mp(g[p].first + w[p],g[p].second),g[fa]);
    }
    for (int i = 2; i <= tot; ++i) {
        int p = t[i],fa = father[p];
        g[p] = std::min(mp(g[fa].first + w[p],g[fa].second),g[p]);
    }
    for (int i = 1; i <= tot; ++i) {
        int p = t[i],fa = father[p];
        if (i == 1)
            ans[g[p].second] += n - sz[p];
        else {
            int x = find(p,d[fa] + 1),sum = sz[x] - sz[p];
            val[fa] -= sz[x];
            if (g[fa].second == g[p].second) ans[g[p].second] += sum;
            else {
                int mid = d[p] - ((g[fa].first + g[p].first + w[p]) / 2 - g[p].first);
                if ((g[fa].first + g[p].first + w[p]) % 2 == 0 && g[p].second > g[fa].second) ++mid;
                int y = sz[find(p,mid)] - sz[p];
                ans[g[p].second] += y;
                ans[g[fa].second] += sum - y;
            }
        }
    }
    // printf("Test: ");
    // for (int i = 1; i <= tot; ++i) printf("(%d, %d) ",t[i],val[t[i]]);puts("");
    for (int i = 1; i <= tot; ++i)
        ans[g[t[i]].second] += val[t[i]];
    for (int i = 1; i <= m; ++i) printf("%d ",ans[mem[i]]); puts("");
}
int main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("3572.in","r",stdin);
    freopen("3572.out","w",stdout);
    #endif
    scanf("%d",&n);
    for (int x,y,i = 1; i < n; ++i) {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        addedge(x,y);addedge(y,x);
    }
    int q;
    scanf("%d",&q);
    dfs(d[1] = 1);
    while (q--) solve();
}

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